La formule qui paie sa décimale

Une expression de 137,035999177 est-elle réellement plus courte que le nombre lui-même ?

Une formule n'explique α que si elle compresse réellement sa valeur. Écrire 137,035999177 autrement ne suffit pas : les constantes choisies, les coefficients et la précision résiduelle doivent tous entrer dans le coût descriptif.

T9 fixe un langage de formules minimal, puis lui accorde un avantage délibéré : la grammaire est gratuite. Si cette borne optimiste ne livre pas une compression nette, aucune coïncidence trouvée dans ce langage ne constitue une dérivation.

Sonde : le coût de la valeur brute

On suppose seulement que α⁻¹ se trouve dans la fenêtre [100 ; 200] et qu'il faut reproduire les neuf décimales publiées. Cette hypothèse est déjà favorable à toute formule : elle donne le contexte gratuitement.

Cible

137,035999177

Fenêtre

100-200

Résolution

10⁻⁹

Code direct

37 bits

Un alphabet choisi après coup trouve un motif

Balayage volontairement arbitraire : a + bπ + ce + dπ², avec a dans [100 ; 150] et des coefficients entiers bornés. Le résultat mesure la liberté de l'alphabet, pas une loi physique.

Amplitude des coefficients|b|, |c|, |d| ≤ 3

alphabet pauvrealphabet flexible

Meilleur candidat du scan

106 + π + 3e + 2π²

Formules testées

17 493

α⁻¹ obtenu

137,035646941

Écart

2,570 ppm

Code des coefficients

15 bits

Le résidu remet les bits manquants

Pour retrouver exactement la décimale publiée à 10⁻⁹, il faut encore transmettre la correction. Son coût est calculé comme un entier signé de pas 10⁻⁹.

α⁻¹ = (106 + π + 3e + 2π²) +0,000352236

Résidu à encoder

20 bits

Total minimal

35 bits

Gain théorique

+2 bits

Seuil de succès

≤ 27 bits

Les 35bits sont une borne optimiste : le récepteur reçoit gratuitement l'alphabet π, e, π², la fenêtre de a et la borne choisie après avoir regardé α. Un gain de 2bits n'est donc pas une compression significative ; le moindre coût du dictionnaire l'efface.

Bilan honnête du front complexité

Une formule courte peut approcher 137,035999177 lorsque son alphabet est choisi après coup. Mais la précision restante revient sous forme de résidu, et le gain maximal reste inférieur au coût non compté de la grammaire. T9 ne trouve pas une description beaucoup plus courte que la constante : elle recode la cible.

Verdict de la tentative

Dans une grammaire généreuse, une formule à 17 493 candidats approche α⁻¹ à 2,57 ppm. Mais la correction qui restaure les neuf décimales porte le code à 35 bits, contre 37 bits pour la valeur brute, sans compter le dictionnaire choisi après coup. La formule recode la cible ; elle ne la compresse pas significativement.

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